Alim Qasımov 1957-ci ildə Şamaxı rayonunun Nabur kəndində (indiki Qobustan rayonunun inzibati ərazi vahidliyinə daxildir) anadan olub. O, 1978-82-ci illərdə Asəf Zeynallı adına Bakı Musiqi Məktəbində və 1983-89-cu illərdə Azərbaycan Dövlət İncəsənət İnstitutunda muğam dərsləri alıb. Müəllimləri xanəndələr Hacıbaba Hüseynov və Ağaxan Abdullayev olublar.

Alim Qasımov 25 yaşında birinci muğam müsabiqəsində müvəffəqiyyət qazanıb. O vaxtlar ifaçı muğam sənətinin, xüsusilə də "tarab" janrının araşdırmalarıyla məşğul olurdu. 1989-cu ildən Mansurov qardaşları ilə çıxış etməyə başlayıb.

1999-cu ildə o, beynəlxalq "IMC UNESCO" musiqi mükafatını alıb. Fransa, İngiltərə, Almaniya, Belçika, İspaniya, Braziliya, Honkonq, Yaponiya, İran və Amerika Birləşmiş Ştatları kimi ölkələrdə konsertlər verərək, bütün dünyaya muğam sənətini tanıdıb, Azərbaycan mədəniyyətinin dünyaya yayılmasında böyük rol oynayıb.

2000-ci ildə "Love's deep ocean" diski "Avropa Dünya Musiqi Xəritəsi"ndə doqquzuncu yeri tutub və 47 Avropa ölkəsinin radiolarında səslənib. 2000-ci ildə Avropa Nadir Səslər Assambleyasının üzvü seçilib.

2009-cu ildə Alim Qasımov ABŞ-nin Corctaun Universiteti və mərkəzi İordaniyada yerləşən Strateji Araşdırmalar Mərkəzinin keçirdiyi müsabiqədə dünyanın ən nüfuzlu 500 müsəlmanı arasında dörd azərbaycanlıdan biri olub.

2010-cu ildə Alim Qasımov fransalı dicey David Vendetta ilə "I'm your Goddess" adlı mahnını duet şəklində ifa edib.

2011-ci il iyulun 4-də islandiyalı müğənni Byork Böyük Britaniyanın "The Guardian" qəzetində nəşr olunan müsahibəsində Alim Qasımovu ən sevdiyi ifaçılar, onun "Azerbaijan: The Art of the Mugham" albomunu ən sevdiyi musiqi albomları sırasına daxil edib.

2012-ci il mayın 26-da Alim Qasımov Bakıda keçirilən 57-ci "Avroviziya" mahnı müsabiqəsinin final mərhələsində Azərbaycan təmsilçisi Səbinə Babayeva ilə eyni səhnəni paylaşıb.

2015-ci il Birinci Avropa Oyunlarının açılış mərasimi Alim Qasımovun canlı muğam ifası ilə başlayıb. O, Bakı Olimpiya Stadionunda qaranlıqda uçan xalça üzərində muğam oxuyub.

Alim Qasımov Azərbaycanın Dövlət Mükafatı laureatıdır.